** Évolution d'une population de bactéries

Dans une boîte de Pétri, avec les bonnes conditions, le taux de croissance du nombre de bactéries à un instant \(t\) exprimé en heures est proportionnel au nombre de bactéries présentes dans la boîte à cet instant \(t\).
Initialement, il y a \(1\;000\) bactéries dans la boîte ; après trois heures, la population a doublé. On cherche à déterminer combien de bactéries sont présentes dans la boîte au bout de \(\)cinq heures.

1. Justifier que le nombre de bactéries dans la boîte suit l'équation différentielle \(\dfrac{\text{d}N(t)}{{\text{d}t}}=kN(t)\) où \(k\) est un nombre réel (le taux de croissance du nombre de bactéries) et \(N(t)\) représente le nombre de bactéries dans la boîte à l'instant \(t\).
2. Donner la forme des solutions de l'équation différentielle \(\dfrac{\text{d}N(t)}{{\text{d}t}}=kN(t)\).
3. a. Utiliser le nombre initial de bactéries dans la boîte pour déterminer l'unique solution de cette équation vérifiant cette condition initiale.
    b. Sachant que le nombre de bactéries a doublé après trois heures, déterminer la valeur du taux de croissance \(k\).
4. Déterminer alors le nombre de bactéries dans la boîte au bout de cinq heures.